Sejarah dan Perkembangan Bilangan Prima
Sekitar abad 6 S.M., Phythagoras dan kelompoknya telah mempelajari sifat-sifat bilangan, antara lain : bilangan sempurna (perfect numbers), bilangan sekawan (amicable numbers), bilangan segi banyak(polygonal numbers) dan bilangan prima (prime numbers). Selanjutnya, sekitar abad ke empat SM, Euclides mengembangkan konsep dasar teori bilangan. Beberapa jenis bilangan khusus akan dikemukakan, namun pengertian pembagi dan pembagi sejati perlu dikemukakan lebih dahulu.
Pembagi (kadang disebut faktor) dari sebuah bilangan bulat adalah bilangan yang dapat membagi bilangan itu tanpa adaa sisa. Misalnya pembagi dari 12 adalah . Pembagi sejati (proper divisors) adalah pembagi sebuah bilangan yang kurang dari bilangan itu sendiri. Misalnya pembagi sejati dari 12 adalah . Selanjutnya, beberapa bilangan khusus dikemukakan sebagai berikut.
Bilangan Prima
Bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1, yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri. 2 dan 3 adalah bilangan prima. 4 bukan bilangan prima karena 4 bisa dibagi 2. Sepuluh bilangan prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 dan 29.
Himpunan-Himpunan Isomorfis
Himpunan S dan T isomorfis, jika:
- Ada korespondensi 1-1 antara S dan T
- Setiap relasi (operasi) pada S dan T tetap terpelihara dalam korespondensi tersebut.
Contoh:
S = {0, 1, 2, 3} dengan operasi tambah modulo 4, dan T = {1, 2, 3, 4} dengan operasi kali modulo 5 adalah isomorfis. Korespondensi 1-1 nya adalah 0®1, 1®3, 2®4, 3®2.
- Bilangan Berlimpah (Abundant Numbers)
Jika sebuah bilangan dengan jumlah pembagi sejatinya lebih dari bilangan itu sendiri disebut bilangan berlimpah. Misalnya, pembagi sejati 24 adalah dan 1+2+3+4+6+8+12=36 adalah bilangan berlimpah karena 36>24.
- Bilangan Berkekurangan (Deficient Numbers)
Jika jumlah pembagi sejati sebuah bilangan kurang dari bilangan itu sendiri, maka bilangan itu disebut berkekurangan. Misalnya, 16 adalah bilangan berkekurangan karena jumlah pembagi sejatinya adalah 1+2+4+8=1<16.
- Bilangan Sempurna (Perfect Numbers)
Sebuah bilangan disebut sempurna apabila jumlah pembaginya sama dengan bilangan itu sendiri. Misalnya, 6 adalah bilangan sempurna karena pembagi 6 adalah 1,2 dan 3 serta 1+2+3=6.
- Bilangan Mungil (cute numbers)
Jika sebuah bilangan kuadrat dapat dibagi ke dalam n kuadrat pada paling banyak dua ukuran berbeda, maka n disebut bilangan mungil. Misalnya 4 dan 10 adalah bilangan mungil.
- Bilangan Setengah Sempurna (semiperfect numbers)
Sebuah bilangan setengah sempurna apabila sama dengan jumlah sebagian pembagi sejatinya. Misalnya, misalnya 18 adalah bilangan setengah sempurna karena pembagi sejati 18 adalah dan 3+6+9=18. Sebuah bilangan setengah sempurna yang merupakan jumlah dari semua pembagi sejatinya disebut bilangan sempurna.
- Bilangan Berbahagia (happy numbers)
Sebuah bilangan yang jumlah kuadrat angka-angkanya pada akhirnya berjumlah satu disebut bilangan berbahagia. Misalnya 203 adalah bilangan berbahagia, karena + + =13, + =10, + =1.
- Bilangan Narsis (narcissistic numbers)
Seorang narsis jika tertarik kepada dirinya sendiri, sebuah bilangan narsis nampaknya sedikit terpusat pada dirinya juga. Sebuah bilangan narsis adalah sebuah bilangan yang sama dengan sebuah pernyataan yang menggunakan angka yang sama. Misalnya 36= 3! 6. Kadang-kadang sebuah bilangan narsis didefenisikan sebagai bilangan yang sama dengan jumlah angka-angkanya yang berpangkat tertentu.
Lebih khusus, sebuah bilangan dengan n angka sama dengan jumlah angka-angkanya yang berpangkat tertentu. Lebih khusus, sebuah bilangan dengan n angka sama dengan jumlah angka-angkanya berpangkat n. Misalnya, 371 adalah bilangan narsis karena 371= dan 9474 juga bilangan narsis karena
- Bilangan Palindrom (palindromic numbers)
Sebuah polindrom adalah kata yang sama baik dibaca dari kiri maupun kanan, misalnya noon atau kayak. Bilangan polindrom, seperti 88 dan 1640461 mempunyai angka yang sama baik dibaca dari kiri maupun dari kanan.
- Bilangan bersahabat (amicable numbers)
Dua bilangan disebut bersahabat apabila jumlah pembagi sejati bilangan pertama sama dengan bilangan kedua dan juga sebaliknya jumlah pembagi sejati bilangan kedua sama dengan bilangan pertama. Misalnya, 2620 dan 2924 adalah dua bilangan bersahabat. Pembagi sejati 2620 adalah yang jumlahnya .
Selanjutnya, kita memeriksa pembagi sejati 2924, yaitu dan jumlahnya . Dengan demikian, kedua bilangan itu bersahabat.
Baca Juga : Rumus Deret Geometri
- Bilangan Sosial (sociable numbers)
Bilangan sosial seperti bilangan bersahabat, tetapi bilangan sosial dalam kelompok yang lebih besar. Pembagi sejati dari bilangan pertama dalam sebuah kelompok jumlahnya sama dengan bilangan kedua, pembagi sejati bilangan kedua jumlahnya sama dengan bilangan ketiga, dan seterusnya.
Pembagi sejati bilangan terakhir dalam kelompok jumlahnya sama dengan bilangan pertama. Bilangan sosial cenderung besar, sehingga sulit didapatkan tanpa menggunakan komputer. Satu contoh kelompok bilangan sosial adalah 12496, 14288, 15472, 14536 dan 14264.
- Bilangan Berpola (figurate numbers)
Bilangan dari titik dalam sebuah susunan titik-titik yang berjarak sama disebut bilangan berpola. Misalnya:
Titik-titik dapat disusun dalam dimensi satu, dua, tiga atau lebih. Ada banyak jenis bilangan berpola, misalnya bilangan polygon (polygonal numbers) dan bilangan tetrahedral (tetrahedral numbers).
- Bilangan Poligon (polygonal numbers)
Sebuah bilangan poligon adalah bilangan titik yang berjarak sama diperlukan untuk menggambar sebuah bilangan berpola. Barisan bilangan poligon berdasarkan pada poligon tersarang. Contohnya:
Terdapat banyak jenis berbeda dari bilangan poligon, mulai dengan bilangan kuadrat dan bilangan segitiga.
- Bilangan Kuadrat (square numbers)
Bilangan kuadrat adalah hasil perkalian sebuah bilangan dengan dirinya sendiri. Ini adalah sama dengan kuadrat sempurna (perfect squares): =1, =4, =9 dan seterusnya. Kuadrat dari 5 adalah 25 dan bekerja dari belakang, kita mengatakan bahwa akar kuadrat dari 25 adalah 5. Beberapa gambar bilangan kuadrat diberikan sebagai berikut.
- Bilangan Kubik (cube numbers)
Bilangan kubik adalah hasil dari perkalian sebuah bilangan dengan dirinya sendiri dua kali : =1, =8, =27 dan seterusnya. Kubik dari 4 adalah 64 dn bekerja dari belakang, kita mengatakan bahwa akar pangkat tiga dari 64 adalah 4. Jika kita menggunakan balok bentuk kubik (kubus) untuk membangun sebuah kubik lebih besar, banyaknya balok yang diperlukan adalah sebuah bilangan kubik. Misalnya, kita akan membangun kubik 10 cm dengan menggunakan kubik 1 cm kita membutuhkan 1000 kubik.
- Bilangan Tetrahedral (tetrahedral numbers)
Bilangan tetrahedral adalah satu jenis bilangan berpola yang diperoleh dengan menghitung banyaknya titik berjarak sama yang diperlukan untuk membangun sebuah tetrahedron. Tetrahedron adalah piramid dengan dasar segitiga.
- Bilangan Segitiga (triangular numbers)
Sebuah bilangan segitiga adalah banyaknya titik yang diperlukan untuk menggambar sebuah segitiga. Ini adalah satu jenis bilangan berpola. Beberapa gambar bilangan segitiga yang pertama diberikan sebagai berikut:
Rumus bilangan segitiga ke-n adalah T(n)=n(n+1)/2.
Baca Juga : Rumus Volume Tabung
- Bilangan Aneh (weird numbers)
Sebuah bilangan aneh (tidak wajar) apabila berlimpah tetapi tidak setengah sempurna, misalnya 70 adalah bilangan aneh. Pembagi sejati 70 adalah dan , tetapi 70 tidak sama dengan jumlah beberapa pembagi sejatinya.
Sebelum komputer ditemukan, perkembangan penemuan bilangan prima masih lambat karena orang belum merasakan manfaatnya. Meski pun sedikit sekali manfaat yang diketahui, namun di awal masehi orang-orang tetap mencari dan membuktikan bahwa suatu bilangan merupakan bilangan prima.
Bilangan prima disebut oleh Nicomachus, Theon dan Lamblichus sebagai “bilangan prima dan tidak komposit”. Theon mendefenisikan hampir sama dengan yang didefenisikan oleh Euclid, yaitu “bilangan yang tidak dihasilkan oleh sebarang bilangan, melainkan oleh hanya satu satuan saja”. Satuan berarti bilangan asli yang bukan bilangan prima dan juga bukan bilangan komposit. Aristotheles juga mengatakan bahwa bilangan prima tidak dihasilkan oleh sebarang bilangan, sebuah satuan bukan merupakan bilangan, tetapi hanya permulaan bilangan (Theon dari Smyrna mengatakan hal yang sama).
Menurut Nicomachus, bilangan prima adalah sebuah subbagian, bukan dari sembarang bilangan melainkan dari bilangan yang ganjil, yaitu “bilangan ganjil yang tidak berlaku untuk bagian yang lain kecuali bagian yang disebutkan setelah nama bilangan iu sendiri”. Bilangan prima adalah 3, 5, 7 dan seterusnya. Dan tidak ada subkelipatan dari 3 kecuali 1/3, tidak ada subkelipatan dari 11 kecuali 1/11 dan seterusnya.
Dalam kasus ini satu-satunya subkelipatan tersebut adalah satuan. Menurut Nicomachus, 3 adalah bilangan prima yang pertama sedangkan Aristotheles menganggap 2 sebagian bilangan prima: (2 adalah satu-satunya bilangan genap yang prima), hal ini menunjukkan bahwa perbedaan doktrin phytagorean lebih awal dari Euclid. Angka 2 juga memperkuat defenisi Euclid terhadap bilangan prima. Lamblichus menjadikan ini sebagai dasar serangan lain terhadap Euclid.
Argumentasinya adalah bahwa 2 adalah satu-satunya angka genap yang tidak memiliki bagian kecuali sebuah satuan. Namun, sebelumnya dijelaskan bahwa genap kali genap, ganjil kali ganjil dan ganjil kali genap, semuanya tidak termasuk sifat bilangan prima. Telah dijelaskan bahwa kemungkinan besar 2 adalah bilangan genap dan ganjil, yang dihasilkan dengan mengalikan 2 terhadap bilangan ganjil yakni satuan tersebut, sehingga 2 dianggap sebagai batas atas subbagian bilangan genap, yang bukan termasuk bilangan prima.
Theon memandang 2 dalam anggapan yang sama, tetapi mendukungnya dengan lingkaran yang nyata. Bilangan prima menurutnya, juga disebut ganjil-kali-ganjil, sehingga hanya bilangan ganjil yang prima dan tidak komposit. Bilangan genap tidak dihasilkan oleh hanya satu satuan, kecuali 2, sehingga terlihat ganjil tetapi tidak prima.
Terdapat beragam nama yang digunakan terhadap bilangan prima. Kita telah memperhatikan penandaan yang aneh terhadapnya yaitu ganjil kali ganjil. Menurut Lamblichus, beberapa orang menyebutnya euthimetricdan thimaridas rectilinier, dengan dasar bahwa ia hanya dapat ditemukan dalam satu dimensi tanpa luasan. Aspek yang sama dari bilangan prima juga dinyatakan oleh Aristotheles, yang membedakan bilangan komposit dengan bilangan prima yang hanya memiliki satu dimensi.
Theon dari Smyrna memberikan linear sebagai nama alternatif dari rectilinear. Dalam kedua kasus, untuk membuat deskripsi yang pas terhadap bilangan prima, kita harus memahami kata hanya, “bilangan prima adalah bilangan yang hanya linear atau rectilinear”. Bagi Nicomachus, yang menggunakan bentuk linear, dengan jelas mengatakan bahwa semua bilangan juga begitu, yakni dapat dipresentasikan oleh titik-titik linear untuk jumlah yang dibutuhkan dan ditetapkan pada seruas garis.
Baca Juga : Rumus Cermin Cembung
Bilangan prima disebut prima atau pertama,menurut nicomachus,karena hanya dapat diperoleh dengan meletakkan sejumlah satuan tertentu bersama,dan satuan tersebut adalah permukaan dari bilangan.Menurutlamblichus,karena tidak ada bilangan sebelumnya,bilangan prima menjadi kumpulan satuan yang merupakan kelipatan dan muncul pertama sebagiaan basis yang bilangan yang lain yang menjadi kelipatannya. Berdassarkan berbagai pernyataan tersebut,bilangan prima dapat didefinisikanberikut.
“Bilangan bulat p>1 disebut bilangan prima bilamana tidak ada bilangan pembagi d terhadap p yang memenuhi syarat 1<d<p.Dengan perkataan lain,bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari satu dan bilangan itu sendiri.Sebuah bilangan bulat p>1 yang bukan bilangan prima disebut bilangan komposit(tersusun)”.
Sebagian contoh,2, 3, 5dan 7 adalah bilangan prima, sedangkan 4, 6, 8 dan 9 adalah bilangan komposit. Perlu diperhatikan bahwa 1 bukan bilangan primaa dan bukan pula bilangan composit, sehingga 1 disebutsatuan. Jadi, himpunan semua bilangan bulat positif (bilangan asli) terbagi dalam 3 himpunan bagian yang saling lepas, yaitu:
- Himpunan bilangan prima
- Himpunan bilangan komposit
- Himpunan bilangan satuan.
Rumus Bilangan Prima
Selama berabad-abad, banyak matematikawan telah mencoba untuk mencari rumusan yang dapat digunakan dalam menentukan bilangan prima. Semua bilangan prima yang lebih besar dari 2 jelas merupakan bilangan gasal (ganjil) sehingga orang percaya bahwa untuk suatu bilangan prima p, -1 juga merupakan bilangan prima. Persamaan ini sama halnya dengan persamaan yang diungkapkan oleh Mersenne, yakni rumus: = -1, n>1. Namun, hal tersebut kemudian terbukti tidak benar. Pada tahun 1536, Regius membuktikan bahwa bilangan -1=2047=23 89, bukan bilangan prima.
Cara yang paling sederhana untuk mencari bilangan prima adalah dengan menggunakan metode saringan Eratosthenes (Sieve of Eratosthenes), sebuah karya dari Eratosthenes (240 SM), seorang ilmuwan Yunani Kuno. Cara ini yang paling sederhana dan paling cepat untuk menemukan bilangan prima, sebelumsaringan Atkin ditemukan pada tahun 2004. Saringan Atkin merupakan cara yang lebih cepat namun lebih rumit dibandingkan dengan saringan Eratosthenes.
Misalkan, kita hendak menemukan semua bilangan prima di antara 1 sampai bilangan bulat 50. Peragaaun saringan Eratosthenes untuk membuat daftar bilangan kurang dari atau sama dengan 50 dilakukan sebagai berikut:
- Membuat daftar bilangan mulai dari 1 sampai dengan 50,
- Mencoret bilangan 1 dari daftar bilangan tersebut,
- Membiarkan bilangan 2 dan mencoret semua bilangan kelipatan 2,
- Membiarkan bilangan 3 dan mencoret semua bilangan kelipatan 3,
- Membiarkan bilangan 5 dan mencoret semua bilangan kelipatan 5,
- Membiarkan bilangan 7 dan mencoret semua bilangan kelipatan 7,
- Membiarkan semua bilangan yang belum dicoret,
- Melihat hasil bilangan yang dibiarkan dan tidak dicoret.
- Mendaftar semua bilangan prima yang kurang dari 50, yaitu 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 dan 47.
(catatan: beberapa bilangan mendapat pencoretan lebih dari sekali)
Baca Juga : Lensa Cekung – Pengertian, Sifat, Rumus, Sinar Istimewa dan Contoh
Penggunaan saringan Eratosthenes tidak dapat secara memuaskan untuk menguji langsung suatu bilangan adalah bilangan prima atau bukan bilangan prima, sehingga banyak “formula” lain yang dibuat untuk menghasilkan bilangan prima. Rumus atau formula itu antara lain:
- f(n)= -n+41, untuk n N
Untuk n=1 sampai dengan n=40, diperoleh daftar angka yang merupakan bilangan prima. Tetapi, untuk n=41 maka f(41)= bukan bilangan prima karena 1681 habis dibagi 1, 41 dan 1681. Dengan demikian, f(n)= -n+41 gagal menjadi rumus bilangan prima.
- f(n)= -79n+1601
Formula ini gagal menjadi rumus bilangan prima sebab f(81)= -79(81)+1601=1763, di mana faktor dari 1763 adalaah 1, 41,43 dan 1763, sehingga 1763 bukan bilangan prima.
- f(n)= +1
Rumus ini dibuat oleh Fermat. Jika secara berturut-turut n diganti dengan 1, 2, 3 dan 4 maka diperoleh semuanya adalah bilangan prima. Tetapi, jika n diganti dengan 5 maka f(5)= +1=4.294.967.297. Hasil ini bukan bilangan prima karena habis dibagi oleh 641. Jadi, rumus Fermat gagal menghasilkan bilangan prima untuk n=5.
- Bilangan prima Sophie Germain
Sebuah bilangan prima p disebut bilangan prima Sophie Germain bila 2p+1 juga bilangan prima. Misalnya, 23 adalah bilangan prima Sophie Germain karena 2 23+1=47 juga bilangan prima. Bilangan ini diberi nama sesuai nama matematikawan Perancis Marie Sophie Germain.
- Bilangan prima dengan rumus 3+4k, untuk k>0.
Tentu, rumus ini gagal menghasilkan bilangan prima untuk k=3, karena 3+4(3)=15 bukan bilangan prima.
- Teorema kecil Fermat menyatakan jika p adalah bilangan prima, maka untuk semua bilangan bulat a, =a(mod p).
Ini berarti, jika kita mengambil sembarang bilangan a, kemudian mengalikan dengan dirinya sendiri sebanyak p kali dan mengurangi a, hasilnya akanhabis dibagi dengan p.
Secara khusus, jika a bukan faktor p, maka (mod p) 1. Teorema ini memberikan uji yang baik untuk ketidakmiripan. Dengan bilangan bulat n>1, pilihlah a>1 dan hitung (mod n). jika hasilnya 1, maka n bukan bilangan prima. Sebaliknya, jika hasilnya=1, maka n mungkin bilangan prima sehingga n mungkin disebut bilangan prima semu basis a (prima semu, bilangan yang “mendekati” bilangan prima).
Sebagai contoh, untuk a=2 dan n=341, maka (mod 341)= (mod 341)= = mod 341=1. Tetapi, 341 bukan bilangan prima karena 341= , sehingga 341 adalah bilangan prima semu basis 2. (umumnya digunakan oleh praktisi kriptografi, kriptografi adalah teknik untuk menyamarkan suatu pesan dengan kata lain “sandi”).
Meski bilangan prima Mersenne terbukti tidak secara pasti benar bahwa rumus tersebut adalah rumus untuk bilangan prima, namun para peneliti tetap menggunakan rumus Mersenne dalam mencari bilangan prima. Bilangan prima terbesar yang diketahui pada September 2006 adalah -1. Bilangan ini mempunyai 9.808.358 digit dan merupakan bilangan prima Mersenne yang ke-44. (demikian notasi penulisan bilangan prima Mersenne ke-44) ditemukan oleh Curtis Cooper dan Steven Boone pada 4 september 2006 yang keduanya adalah profesor university of Sentral Missoouri bekerja sama dengan puluhan ribu anggota lainnya dari proyek Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS).
Di antara semua bilangan prima Mersenne yang sudah ditemukan, sepuluh bilangan terbesarnya ditemukan dengan GIMPS. Bilangan prima Mersenne terbesar saat ini memiliki 9.808.358 digit angka.
Baca Juga : Asam Oksalat : Pengertian, Msds, Rumus, Sifat, Bahaya & Kegunaannya
Teorema Bilangan Prima
Sebelum membahas teorema tentang bilangan prima, terlebih dahulu dijelaskan istilah saling prima. Dua buah bilangan dikatakan saling prima jika faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan tersebut adalah 1. Istilah lain dari saling prima adalah komprima atau prima relatif. Jadi defenisi saling prima dapat dituliskan sebagai berikut.
“Dua bilangan bulat a dan b dikatakan prima relatif, jika (a,b)=1”
Apabila ( )=1 maka juga dikatakan saling prima. Bilangan bulat positif dikatakan saling prisma dua-dua atau saling prima sepasang, apabila ( )=1, untuk i=1, 2, 3,…., n dan j=1, 2, 3,…., n dengan i j. contoh (7, 8, 15)=1,sehingga dikatakan bahwa 7, 8 dan 15saling prima dan sekaligus saling prima dua-dua, sebab (7,8)=(7,15)=(8,15)=1. Contoh lain (4, 6, 9, 10) =1 menunjukkan bahwa 4, 6, 9 dan 10 saling prima, tetapi tidak saling prima dua-dua, sebab (4,6)=2, (4,10)=2, (6,9)=3, (6,10)=2 meskipun (4,9)=(9,10)=1.
- Teorema 6.1
Jika sisa pembagian b oleh a adalah prima relatif dengan a, maka b juga prima relatif dengan a.
Bukti:
Misalkan a dan b adalah bilangan-bilangan bukat daan a=0, maka menurut algoritma pembagian diperoleh: b=aq+r dengan
Misalnya, (a,r)=1. Apakah (b,a)=1?
Misalkan (b,a)=d, maka dan d|b
Karena b=aq+r dengan d dan d|b maka d|r
Selanjutnya dan d|r, sehingga d merupakan faktor persekutuan dari a dan r.
Tetapi, karena (a,r)=1, maka d 1.
Mengingat (b,a)=d, yaitu d 1, maka d=1.
Maka, (b,a)=1
Contoh:
Misalkan 81 dan 266, dengan 266=(81)(3)+23. Perhatikan bahwa (81,23)=1, maka menurut teorema 1 (266,81)=1. Hal ini dapat dilihat pada Algorotma Euclides.
- Teorema 6.2
Setiap bilangan bulat n>1 dapat dibagi oleh suatu bilangan prima. Dengan perkataan lain, jika n dan n adalah bilangan komposit, maka ada bilangan prima p sehingga.p|n.
Bukti:
- Cara I
- Ambil sembaraang bilangan positif n>1. Jika n bilangan prima maka berarti teorema terbukti.
- Apabila n adalah bilangan komposit, maka n mempunyai faktor selain 1 dan n sendiri. Misalnya , yaitu maka ada sehingga n= dengan 1< <n.
- Ambil bilangan prima sehingga , dengan demikian teorema terbukti. Tetapi, jika suatu bilangan komposit, maka mempunyai faktor selain 1 dan , misalnya , yaitu | sehingga ada sehingga , 1< < .
- Ambil bilangan prima sehingga . Karena dan |n maka . Jadi, n terbagi oleh suatu bilangan prima , sehingga teorema terbukti. Tetapi, jika suatu bilangan komposit, maka mempunyai faktor selain 1 dan , misalnya , yaitu. Ini berarti ada sedemikian sehingga = dengan 1< < .
- Ambil bilangan prima dan dengan dan yang berimplikasi sehingga teorema terbukti. Tetapi, jika suatu bilangan komposit, proses seperti di atas dapat dilanjutkan sedemikian sehingga didapatkan suatu barisan n, , ,….,dengan n> > >……>1.
Penguraian atas faktor-faktor komposit tersebut tentu berakhir pada suatu faktor prima, karena faktor-faktor tersebut selalu kurang dari bilangan yang diuraikan dan selalu lebih dari 1. Misalkan penguraian berakhir pada faktor prima , maka dan karena , ,….., sehingga.
- Cara II
Misalkan tidak ada bilangan prima p yang memenuhi dan S adalah himpunan semua bilangan komposit yang tidak mempunyai faktor prima dengan S= .
Karena S dan S N maka menurut prinsip terurut rapi , S mempunyai unsur terkecil m.
Misalkan m S maka m= . dengan 1< <m dan 1< <m, S, sebab m adalah unsur terkecil S, berarti adalh bilangan prima atau bilangan yang mempunyai faktor prima.
Ternyata tterjadi kontradiksi karena m S mempunyai faktor prima. Jadi, S , yaitu ada bilangan prima p yang memenuhi .
Baca Juga : Asam Sulfat – Pengertian, Sifat, Rumus, Bahaya dan Proses
Contoh:
- Misalkan n=17 dan n {bilangan prima}, menurut teorema 2, terdapat bilangan prima p sehingga . Pilih bilangan prima p=17, sehingga .
- Misal n=357, dengan n {bilangan komposit}. Menurut teorema 2, n memiliki faktor selain 1 dan 357 sendirii. Misalkan faktor lain adalah =3 yaitu , maka ada sedemikian sehingga 357=3 dengan =119 dan 1<199< 357. Karena 119 merupakan bilangan komposit , maka mempunyai faktor selain 1dan 119 sendiri. Misalkan faktor lain tersebut adalah =7 yaitu , maka ada sedemikian sehingga 119=7 dengan =17 dan 1<17<119. Karena =17 merupakan bilangan prima, menurut teorema 2, ada bilangan prima p sedemikian sehingga . Pilih bilangan prima p=17 maka .
- Teorema 6.3
Setiap bilangan bulat n>1 dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima.
Bukti:
- Cara I
- Ambil sebarang bilangan bulat positif n>1. Menurut teorema 2, ada suatu bilangan prima sedemikian sehingga . Karena itu, ada bilangan bulat positif sehingga n= dengan 1< .
- =1 n= n {bilangan prima}. Tetapi, jika >1, menurut teorema 2, ada bilangan , sedemikian sehingga . Karena itu, ada sedemikian sehingga dengan 1< < .
- =1 = n= . Hal ini berarti n dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan-bilangan prima (teorema terbukti). Tetapi, jika >1, maka menurut teorema 2, p {bilangan prima} . Karena itu = dengan 1 < .
- =1 = n= . Hal ini berarti n dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan –bilangan prima (teorema terbukti). Tetapi, jika , maka proses dapat dilanjutkan sehingga pada akhirnya diperoleh .
Penguraian atas faktor-faktor prima tersebut pasti berakhir karena dan setiap . Misalnya untuk k, maka diperoleh n= yaitu n dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan-bilangan prima.
Cara II
Bilangan bulat n>1 memiliki kemungkinan n bilangan prima atau komposit. Jika n bilangan prima maka n adalah faktor primanya sendiri. jika n bilangan komposit, maka n dapat difaktorkan katakanlah n= dengan dan .
Jika bilangan prima maka ia adalah faktor prima n. jika bukan bilangan prima, maka dengan dan
Dengan cara yang sama dapat pula berlaku untuk , yaitu mungkin prima atau komposit. Penguraian faktor komposit pasti berakhir karena faktor-faktornya harus lebih kecil dari yang diuraikan yaitu bilangan komposit itu sendiri, tetapi harus lebih besar dari 1. Jadi, kita dapat menyatakan n sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima.
Suatu bilangan positif yang lebih besar dari 1 dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan-bilangan prima. Jika diantara faktor-faktor prima tersebut ada yang sama, maka faktor-faktor yang sama dapat ditulis dalam bentuk dengan adalah faktor-faktor prima dan merupakan pangkat-pangkat positif.
Selanjutnya disebut representasi n sebagai perkalian bilangan-bilangan prima atau sering pula disebut bentuk kanonik dari n. teorema 3 sangat membantu untuk menentukan FPB dan KPK dari 2 bilangan atau lebih dengan menyatakan bilangan-bilangan tersebut dalam bentuk kanoniknya.
Misalkan 2 bilangan a dan b, masing-masing dinyatakan dengan dan dimana dan , (i=1, 2, 3,…..,r). Dengan demikian FBP dari a dan badalah dan KPK a dan b adalah[a,b]
Contoh :
Ambil nilai a=112 dan b=212.
Penguraiannya menjadi faktor-faktor prima:
a=112=( )(7)= )( )( )
b=212= )(53)= )( )( )
Dengan demikian FBP dan KPK diberikan oleh:
(a,b)= = =4
[a,b]= = =
Karena a dan b keduanya positif, sifat [a,b](a,b)=ab dapat digunakan.
Bukti, [112,212](112,212)=112 212=23744=5936 . Cara ini berlaku hanya pada dua bilangan bulat positif.
Baca Juga : Hukum Kepler 1 2 3 – Konsep, Rumus, Sejarah, Contoh Soal
- Teorema 6.4
Jika n suatu bilangan komposit, maka n memiliki faktor k dengan 1<k .
Bukti:
Karena n suatu bilangan komposit, ada bilangan-bilangan bulat positif k dan m sedemikian sehingga km=n dengan 1<k<n dan 1<m<n.
Apabila k dan m kedua-duanya lebih besar dari , yaitu k> dan m> , maka n=km> =n(n>n).
Hal ini tidak mungkin sehingga salah satu dari k atau m harus lebih kecil atau sama dengan , misalnya k, yaitu 1<k . Jadi, n memiliki faktor k dengan 1<k .
Kontraposisi teorema 4.
Apabila bilangan bulat positif n tidak mempunyai faktor k dengan 1<k , maka n adalah suatu bilangan prima.
Contoh:
Apakah 1003 merupakan bilangan prima atau bukan?
Penyelesaian:
Bilangan 1003 diperiksa keterbagiannya oleh bilangan-bilangan prima yang kurang dari yaitu 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 dan 31. Karena terdapat bilangan yang dapat membagi habis 1003 yaitu 17 maka 1003 adalaah bilangan komposit.
- Teorema 6.5
Jika n N (bilangan asli), maka n mempunyai faktor prima terbesar p sehingga p .
Bukti:
Misalkan tidak benar bahwa n mempunyai faktor prima terbesar p , berarti n paling sedikit mempunyai dua faktor p dan q> . Dengan demikian, n=pq> atau n=pq>n. Hal ini menunjukkan suatu kontradiksi (n>n) yang berarti n mempunyai faktor prima terbesar p .
Contoh:
Contoh ini merupakan prinsip kerja dari saringan Eratosthenes. Jika n=300 maka pencoretan dihentikan pada bilangan prima terbesar p yaitu p=17. Proses yang dilakukan adalah:
- Mencari bilangan prima terbesar kurang dari atau sama dengan
- Mencoret semua bilangan kelipatan bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan (kecuali bilangan-bilangan prima itu sendiri)
- Semua bilangan yang tersisa adalah bilangan prima.
Sekian penjabaran artikel diatas tentang Bilangan Prima Adalah – Pengertian, Rumus, Genap & Faktornya semoga dapat bermanfaat bagi seluruh pembaca setia DosenPendidikan.Com